Question

设向量 a1,a2，b1,b1均是三维列向量，且a1,a2线性无关，b1,b2线性无关，存在非零

设向量 a1,a2，b1,b1均是三维列向量，且a1,a2线性无关，b1,b2线性无关，存在非零向量c,使c既可由a1,a2线性表出，又可由b1,b2线性表出，当a1=(1,0,2),a2=(2,-1,3),b1=(-3,2,5),b2=（0,1,1）时，求出所有向量c

Answer 1

嘿, 这题目怪怪的, 第一次遇到这类型的

解:
c 既可由a1,a2线性表出，又可由b1,b2线性表出
等价于方程组
x1a1+x2a2 = c
x3b1+x4b2 = c
有解.
这等价与
秩
a1 a2 0 0
0 0 b1 b2
=
秩
a1 a2 0 0 c
0 0 b1 b2 c

当a1=(1,0,2),a2=(2,-1,3),b1=(-3,2,5),b2=（0,1,1）时
设 c = (c1,c2,c3)^T, 则
a1 a2 0 0 c
0 0 b1 b2 c
=
1 2 0 0 c1
0 -1 0 0 c2
2 3 0 0 c3
0 0 -3 0 c1
0 0 2 1 c2
0 0 5 1 c3
--> r3-2r1-r2,r1+2r2,r2*(-1)
r6+r4-r5
1 2 0 0 c1
0 -1 0 0 c2
0 0 0 0 c3-2c1-c2
0 0 -3 0 c1
0 0 2 1 c2
0 0 0 0 c3+c1-c2

所以c满足
-2c1-c2+c3=0
c1-c2+c3=0
系数矩阵
-2 -1 1
1 -1 1
-->
1 0 0
0 1 -1

通解为 c = k(0,1,1)^T = (0,k,k)^T
此即为满足要求的所有的向量.

追问

矩阵不可以写成
1 2 -3 0 c1
0 -1 2 1 c2
2 3 5 1 c3
吗？

追答

也不是不行
要考虑c 分别由 a1,a2 和 b1,b2 线性表示
拆成两个较直观些

Answer 2

即有非零X1,X2,X3,X4使得
a1X1+a2X2=c
b1X3+b2X4=c
求出c1,c2，c3的解,设c(c1,c2,c3)根据上面两式可以分别得出c1,c2,c3和X1,X2,x3,X4对应的关系
我就不写了，直接写出6个等式联立后的方程组
X1+2X2+3X3 =0
X2 +2X3+X4 =0
-2X1-3X2+5X3+X4=0
就是解矩阵，应该知道吧。。