Question

利用极限存在准则证明：limn趋向于无穷，n【1/（n^2+π）+1/（n^2+2π）+...+1/（n^2+nπ)】=1

Answer 1

证明：limn【1/（n^2+π）+1/（n^2+2π）+...+1/（n^2+nπ)】limn【(1/n^2+nπ)+(1/n^2+nπ)+.(1/n^2+nπ)】

=limn(n/(n^2+nπ)

=limn/n+π)

=1

所以limn【1/（n^2+π）+1/（n^2+2π）+...+1/（n^2+nπ)】=1成立。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

Answer 2

证明：limn【1/（n^2+π）+1/（n^2+2π）+...+1/（n^2+nπ)】<limn(1/n^2+1/n^2+...+1/n^2)
=limn*n/n^2=limn^2/n^2=1
又因为limn【1/（n^2+π）+1/（n^2+2π）+...+1/（n^2+nπ)】>limn【(1/n^2+nπ)+(1/n^2+nπ)+......(1/n^2+nπ)】
=limn(n/(n^2+nπ)
=limn/n+π)
=1
所以limn【1/（n^2+π）+1/（n^2+2π）+...+1/（n^2+nπ)】=1 成立。

Answer 3

迫敛准则
设 u(n) =n【1/（n^2+π）+1/（n^2+2π）+ ... +1/（n^2+nπ)】
n * n /(n^2+nπ) < u(n) < n * n / (n^2+π)
lim n->∞ n^2 /(n^2+nπ) = lim n->∞ n^2 / (n^2+π) = 1
lim n->∞ u(n)=1

Answer 4

夹逼准则n^2/（n^2+nπ)>n【1/（n^2+π）+1/（n^2+2π）+...+1/（n^2+nπ)】>n^2/（n^2+π)
n^2/（n^2+nπ)=n^2/（n^2+π)=1（当n趋向∞）

Answer 5

lim n【1/（n^2+π）+1/（n^2+2π）+...+1/（n^2+nπ)】
=lim 1/（n+π/n）+1/（n+2π/n）+...+1/（n+π)】
=lim n*1/n
=1