Question

已知f（x）=x分之x²+3x+2a ， x属于【2,正无穷大） （1）若a=1/2, 求f(x)的最小值；（用单调性求解）

(2)若任意x属于【2,正无穷大），f（x）＞0恒成立，求实数a的范围。

Answer 1

（1）若a=1/2，f（x）=（x²+3x+1）/x
导函数为f‘（x）=1-1/x²，当 x属于【2,正无穷大），f‘（x）恒大于0，故f（x）粗世单调递增，所以最小值为f（2）=11/2
（2）f（x）=（x²+3x+2a）/x，导函数为f‘（x）=1-2a/x²，
讨论：
若a<0, 则f‘（x）恒大于0，故f（x）单调递增，最小值为f（2）=5+a>0，a>-5;
若2>a>0,则f‘（x）恒大于0，故f（陵凳皮x）单调递增，最小值为尺差f（2）=5+a>0,a>-5;
若a>2,则则f‘（x）恒大于0，故f（x）单调递增，f（2）=5+a和f（根号2a）大于0恒成立；
综上所述：a>-5

Answer 2

f(x)=x^2+2x+a=(x+1)^2+a-1
(1)a=1/2时，fmin=f(-1)=a-1=-1/简好2
(2)f(x)≥0恒成立，即f(x)最握咐腊小值也大于等于0.即fmin=f(-1)=a-1≥0
故段滑a≥1