Question

已知函数f(x)=a-1/(2的x次方-1)，（a属于R）(1)求f(x)的定义域（2）f(x)为奇函数，求a的值（3）考察f(x)在

定义域上单调性的情况，并证明你的结论

Answer 1

解：(1) 由题意知，要使函数f(x)有意义，须使：
2的x次方-1≠0即x≠0
所以f(x)的定义域为｛x∈R | x≠0｝

(2) 若f(x)为奇函数，则对于定义域任意实数x，都有：
f(-x)=-f(x)即a-1/(2的-x次方-1) =-[a-1/(2的x次方-1)]
a- 2的x次方/(1-2的x次方) ＝-a+1/(2的x次方-1)
2a=(1 -2的x次方)/(2的x次方-1)
2a=-1
解得a=－2分之1

(3) f(x)在(0,+∞)上是增函数；在(-∞,0)上也是增函数。
以下略证f(x)在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上任取两个不同实数x1，x2，且x2>x1，则：
Δy=f(x2)-f(x1)
=a -1/(2的x2次方-1) -[a -1/(2的x1次方-1)]
=1/(2的x1次方-1) -1/(2的x2次方-1)
=(2的x2次方 -2的x1次方)/[(2的x1次方-1)*(2的x2次方-1)]
因为x2>x1>0，即Δx>0
则2的x2次方>2的x1次方，且2的x1次方-1>，2的x2次方-1>0
所以Δy>0
即Δy/Δx>0
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数
同理可证得f(x)在(-∞,0)上是增函数

Answer 2

首先，由于f(x)为奇函数，所以f(0)=0，代入x=0解得b=1
（1）、
如果这道是选择填空题，则可以根据奇函数的性质f(-x)=-f(x)，令x=1，
则f（-1）=(1/2)/(a+1)，
-f(1)=-[(-1)/a+4]，
根据奇函数的性质得f(-1)=-f(1)，所以算得a=2
（2）、
如果这道是解答题，则根据奇函数的性质f(-x)=-f(x)，得到（1-2的负x次方）/（2的-x+1次方+a）=-[1-2的x次方）/（2的x+1次方+a)]，所以最后解得2*（a-2）*[2的x次方+2的负x次方-2]=0，因为此等式对任何实数x都成立，所以a-2=0，所以a=2