Question

已知，E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且EB/AB=AF/AD=1/3，求证，∠AEF=∠FBD

A F D

E

B C 连一下。

Answer 1

作EG⊥BD于G

设正方形边长为3a，则AB=AD=3a

∵∠A=90°

∴BD²=AB²+AD²=18a²

∴BD=3a√2

∵EB/AB=AF/AD=1/3

∴AE=2a     AF=a

∴DF=2a         AF/AE=1/2

∵ABCD是正方形     EG⊥BD  

∴∠FDG=∠DGF=45°

∴FG=DG

∵FG²+DG²=DF²=4a²

∴FG=DG=a√2

∴BG=BD-DG=2a√2

∴FG/BG=1/2

∴AF/AE=FG/BG

∵∠A=∠BGF=90°

∴△AEF ∽△GBF

∴∠AEF=∠FBD

Answer 2

我用正弦定理解，答案如下：
设正方形ABCD的边长AB=AD=3，则对角线BD=3√2
在Rt△ABF中，BF²=AF²+AB²=1+9=10，BF=√10
在Rt△AEF中，AE=2，AF=1，EF²=AF²+AE²=1+4=5，EF=√5，sin∠AEF=1/√5
在△BFD中，FD/sin∠FBD=BF/sin∠BDF，2/sin∠FBD=（√10）/sin45°，sin∠FBD=1/√5
故：sin∠AEF=sin∠FBD
而∠AEF与∠FBD都为锐角
所以∠AEF=∠FBD

追问

还没学。。= =

Answer 3

证明:作AO垂直BD于O,则O为BD的中点;作FG垂直OD于O,则FG=DG.
则AO平行FG,AF/AD=OG/OD=1/3,则设OG=m,则BO=OD=3m,FG=GD=2m.
FG/BG=2m/4m=1/2;又AF/AE=(AD/3)/[(2/3)AB]=1/2.
故AF/AB=FG/BG;又角EAF=角BGF=90度.
则⊿EAF∽⊿BGF,所以,∠AEF=∠FBD.