Question

如图 在等腰梯形ABCD中 AD‖BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从点A出发,沿边AD向点D以1cm/s的速度

如图 在等腰梯形ABCD中 AD‖BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从点A出发,沿边AD向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发,沿边CB向点B以2cm/s的速度移动，若有一点运动端点时，另一点也随之停止。 如果P、Q同时出发，能否有四边形PQCD成等腰梯形？如果存在，求经过几秒后；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

设PQCD是等腰梯形时，过了t秒，
此时在梯形PQCD中，PD//CQ,PQ=CD；
分别过P、D点做BC的垂直线，分别交BC与E,F，
∵AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，∠B=90°
∴PE=DF=AB=14
∴CF=BC-AD=21-18=3,
∵ 经过t秒，AP=t BQ=9t
∴PD=18-t,QE=CQ-EF-CF=9t-(18-t)-3=10t-21;
根据勾股定理:
PQ^2=PE^2+QE^2,
CD^2=DF^2+CE^2,
因为PQ=CD，所以PE^2+QE^2=DF^2+CE^2，
将数值带入，求得t=2.4或1.8，
然而当t=2.4时，Q点运动距离为9×2.4=21.6，已经超出BC的范围，
不满足要求，舍掉，当t=1.8时，满足要求。
因此，经过1.8秒后，存在满足要求的等腰梯形PQCD

Answer 2

解：设P,Q分别从A,C同时出发,t秒后，梯形PQCD是等腰梯形,
AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm
∴ AP=t, CQ=2t, BQ=BC-CQ=21-2t
过点P,D作PN⊥BC, DM⊥BC
∵ AD∥BC, ∠B=90°, PN⊥BC, DM⊥BC
∴ 四边形ABMD, ABNP是矩形
∴ AB=PN=DM, AP=BN=t, AD=BM=18
∴ CM=3
∵ 要使梯形PQCD是等腰梯形
∴ 必需PQ=DC
∴ Rt△PQN≌Rt△PCM(HL)
∴ QN=CM
∵ QN=BN-BQ=t-(21-2t)=3t-21
∴ 3t-21=3
解得：t=8
∴ P,Q分别从A,C同时出发,8秒后，梯形PQCD是等腰梯形

Answer 3

解：设PQCD是等腰梯形时，过了t秒，
此时在梯形PQCD中，PD∥CQ，PQ=CD；
分别过P、D点做BC的垂直线，分别交BC与E，F，
∵AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，∠B=90°
∴PE=DF=AB=14
∴CF=BC-AD=21-18=3，
∵经过t秒，AP=t BQ=9t
∴PD=18-t，QE=CQ-EF-CF=9t-（18-t）-3=10t-21；
根据勾股定理：
PQ2=PE2+QE2，
CD2=DF2+CF2，
∵PQ=CD，
∴PE2+QE2=DF2+CF2，
将数值代入得：142+（10t-21）2=142+32，
求得t=2.4或1.8，
然而当t=2.4时，Q点运动距离为9×2.4=21.6，已经超出BC的范围，
不满足要求，舍掉，
∴当t=1.8时，为等腰梯形

Answer 4

楼上的写错了
设PQCD是等腰梯形时，过了x秒，
此时在梯形PQCD中，PD//CQ,PQ=CD；
分别过P、D点做BC的垂直线，分别交BC与E,F，
∵AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，∠B=90°
∴PE=DF=AB=14
∴CF=BC-AD=21-18=3,
∵ 经过t秒，AP=x BC=9x
∴PD=18-x,QE=CQ-EF-CF=9x-(18-x)-3=10x-21;
根据勾股定理:
PQ^2=PE^2+QE^2,
CD^2=DF^2+CE^2,
因为PQ=CD，所以PE^2+QE^2=DF^2+CE^2，
将数值带入，求得x=2.4或1.8，
然而当x=2.4时，Q点运动距离为9×2.4=21.6，已经超出BC的范围，
不满足要求，舍掉，当x=1.8时，满足要求。
因此，经过1.8秒后，存在满足要求的等腰梯形PQCD

Answer 5

解：设P,Q分别从A,C同时出发,t秒后，梯形PQCD是等腰梯形,
AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm
∴ AP=t, CQ=2t, BQ=BC-CQ=21-2t
过点P,D作PN⊥BC, DM⊥BC
∵ AD∥BC, ∠B=90°, PN⊥BC, DM⊥BC
∴ 四边形ABMD, ABNP是矩形
∴ AB=PN=DM, AP=BN=t, AD=BM=18
∴ CM=3
∵ 要使梯形PQCD是等腰梯形
∴ 必需PQ=DC
∴ Rt△PQN≌Rt△PCM(HL)
∴ QN=CM
∵ QN=BN-BQ=t-(21-2t)=3t-21
∴ 3t-21=3
解得：t=8
∴ P,Q分别从A,C同时出发,8秒后，梯形PQCD是等腰梯形

Answer 6

假设PQCD是等腰梯形时，过了t秒，
此时在梯形PQCD中，PD//CQ,PQ=CD；
分别过P、D点做BC的垂直线，分别交BC与E,F，
∵AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，∠B=90°
∴PE=DF=AB=14
∴CF=BC-AD=21-18=3,
∵ 经过t秒，AP=t BQ=9t
∴PD=18-t,QE=CQ-EF-CF=9t-(18-t)-3=10t-21;
根据勾股定理:
PQ^2=PE^2+QE^2,
CD^2=DF^2+CE^2,
因为PQ=CD，所以PE^2+QE^2=DF^2+CE^2，
将数值带入，求得t=2.4或1.8，
然而当t=2.4时，Q点运动距离为9×2.4=21.6，已经超出BC的范围，
不满足要求，舍掉，当t=1.8时，为等腰梯形