Question

在在△ABC中，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD。如图1，若∠DAC=2∠ABC

Answer 1

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=45°
45°
；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四边形的性质得∠D=∠ABC，在△ACD中，由内角和定理求解；
（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；
（3））∠DAC=2∠ABC成立，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，利用内角和定理证明结论．解答：解：（1）45；
（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．

（3）∠DAC=2∠ABC成立，
以下证明：
如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．
∵BD2=4AH2+BC2，
∴EC=BD．
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形．
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．
∴AB=AE．
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD．
即∠EAB=∠DAC．
∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，
∴∠ABC=90°-∠EBA．
∵AB=AE，
∴∠EBA=∠BEA．
∴∠EAB=180°-2∠EBA．
∴∠EAB=2∠ABC．
∴∠DAC=2∠ABC．
希望能帮助你

Answer 2

解：（1）45；

（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．

（3）∠DAC=2∠ABC成立，
以下证明：
如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．
∵BD2=4AH2+BC2，
∴EC=BD．
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形．
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．
∴AB=AE．
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD．
即∠EAB=∠DAC．
∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，
∴∠ABC=90°-∠EBA．
∵AB=AE，
∴∠EBA=∠BEA．
∴∠EAB=180°-2∠EBA．
∴∠EAB=2∠ABC．
∴∠DAC=2∠ABC．

Answer 3

你把整道题目都发上来，要不然我怎么帮你解答

Answer 4

没图.....