Question

4道高二数列问题，高手来。酌情加分。

1·已知在正整数数列｛An｝中，前n项和Sn满足：Sn=（1/8)(An+2)²，
（1）求证：｛An｝为等差数列
(2)若Bn=[(1/2)An]-30,求数列｛Bn｝的前n项和的最小值
2·三个互不相等的数组成等差数列，如果适当排列三个数，又可以组成等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为：
3·公差不为0的等差数列第2,3,6项构成等比数列，则公比为：
4·见图

Answer 1

1、（1）在正整数数列｛An｝中，前n项和Sn满足：Sn=（1/8)(An+2)²，
则A1=S1=（1/8)(A1+2)²，解得A1=2
An=Sn-S(n-1)=（1/8)(An+2)²-（1/8)[A(n-1)+2]²
(An-2)²=[A(n-1)+2]²
An-2=A(n-1)+2
An=A(n-1)+4
数列｛An｝是以A1＝2，d＝4的等差数列
An=2+4(n-1)=4n-2
（2）Bn=[(1/2)An]-30=2n-31，
B1＝-29，d'＝2
数列｛Bn｝的前15项为负数，从第16项开始为正数
所以前15项和T15最小
T15＝15×(-29)+1/2×15×14×2＝－225

2、成等差数列的三个数的和为6，则中间一个为6÷3=2
设公差为d（不防设d>0），这三个数为2-d，d，2+d
适当排列后是等比数列d，2-d，2+d
则(2-d)²=2(2+d)
解得d＝6
所以这三个数为－4，2，8

3、公差d不为0的等差数列第2,3,6项构成等比数列
(a3)²=a2×a6
(a3)²=(a3-d)(a3+3d)
d=2a3/3
q=a3/a2=a3/(a3-d)=a3/(a3-2a3/3)=3

4、（1）akx²+2a(k+1)x+a(k+2)=0
akx²+2(ak+d)x+(ak+2d)=0
分解因式得（akx+ak+2d）(x+1)=0
x=-(ak+2d)/ak或x=-1
所以方程有公共根－1
（2）x1=-(a1+2d)/a1
xn=-(an+2d)/an=-1-2d/an
设Bn=1/(xn+1)=-an/(2d)
B(n+1)=-a(n+1)/(2d)
所以B(n+1)-Bn＝-a(n+1)/(2d)-[-an/(2d)]
＝[an-a(n-1)]/(2d)
=(-d)/(2d)
=-1/2
所以Bn是等差数列

Answer 2

同上