Question

f(x)=8+2x-x^2,若g(x)=f(2-x^2),试确定g(x)的单调区间

请诸位指教

Answer 1

解析:g(x)=f(u)=8+2u-u2,u=2-x2.g(x)是一复合函数，只须求出f(u)=8+2u-u2与u(x)=2-x2各自单调区间，再根据复合函数单调性的判定定理即可求解.

解答:令f(u)=-u2+2u+8,u(x)=2-x2,
由u(x)=2-x2可知，x≥0递减，x<0递增且u≤2.
由f(u)=-u2+2u+8，可知，
当u≤1时递增，当1<u≤2时递减.
(1)当u≤1时，2-x2≤1，即x≥1或x≤-1，
故x≥1时，g(x)单调递减，x≤-1时，g(x)单调递增.
(2)当1<u≤2时，1<2-x2≤2，即-1<x<1
故-1<x<0时，g(x)单调递减，0≤x<1时,g(x)单调递增.
综上，g(x)的单调递增区间为(-∞，-1〕，〔0,1).
g(x)的单调递减区间为(-1，0)，〔1,+∞).

解题规律:
对于复合函数y=f〔g(x)〕,若u=g(x)在区间〔a,b〕上具有单调性，且y=f(u)在区间〔g(a),g(b)〕或〔g(b),g(a)〕上也具有单调性，则函数y=f〔g(x)〕在区间〔a,b〕上的单调性如下表所示：
u=g(x)g=f(u)y=f〔g(x)〕增增增增减减减增减减减增
注：(1)该法则可简记为“同增异减”，意即若u=g(x)与y=f(u)的增减性相同时，则y=f〔g(x)〕为增函数；若u=g(x)与y=f(u)增减性相反时，则y=f 〔g(x)〕为减函数.
(2)应用该法则时，首先应考虑函数的定义域.

Answer 2

化简g(x)＝x^4-6*x^2+16(即同二次函数)
在（3.正无穷）递增
在（负无穷，3）递减