Question

两道高中数学题

若存在x1 x2属于R，x1＜x2，使f（x1）＜f（x2）成立，则函数在R上单调递增。
这句话对不对？

2设a为实数，函数f（x）=x^2+|x-a|+1,x属于R
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）若x≥ a，，求f（x）的最小值。

Answer 1

1 错的
只有把 “若存在x1 x2属于R” 中的 存在 改成 任意 才能成立

2 f(x) = x^2+|x-a|+1
f(-x) = x^2+|-x-a|+1
若 f(x) = f(-x)
只有当 |x - a| = |-x - a| 时成立
即只有当 a = 0 时， f(x)才是偶函数
若 x ≥ a
f(x) = x^2+|x-a|+1
= x^2+x-a+1
=(x + 1/2)^2 -a + 3/4
当 a ≤ -1/2 时
f(x) 的最小值是 3/4 - a
当 a ＞ -1/2 时
f(x) 的最小值是 a^2 + 1

追问

为什么当 a ＞ -1/2 时，f(x) 的最小值是 a^2 + 1？

追答

因为f(x) = (x + 1/2)^2 -a + 3/4
是对称轴在 x = -1/2 的开口向上的 抛物线
所以在 当 x ＞ -1/2 时 （即是我说的 x ≥ a ＞ -1/2 ）
函数f(x)是减函数， 最小值 在 x = a 处取到
即最小值是 f(a) = a^2 + 1

Answer 2

第一个时错误的，不是存在，而是任意
2.（1）a=0时f(x)是偶函数。a不是0时f(x)是非奇非偶函数
（2)f(x)最小值时(3/4)-a

Answer 3

1、第一个是任意x1，x2.必须满足任意性。
2、当a＝0时，该函数为偶函数。
（1）当a≠0时，该函数为非奇非偶函数。
（2）当x≥ a，f（x）=x^2+（x-a）+1,
抛物线开口向上。
对称轴为x＝-2/1
所以当x等于-2/1时，
f（x)最小。
等于（3/4）-a