两道高中数学题
1:设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(-1...
1:设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线,试写出函数f(x)的表达式。
2:定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)是偶函数,当x∈【0,2】时,f(x)=2x-1,求x∈【-4,0】时f(x)的表达式。
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2:定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)是偶函数,当x∈【0,2】时,f(x)=2x-1,求x∈【-4,0】时f(x)的表达式。
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1、解:f(x)为定义在R上的偶函数,即f(x)图像关于y轴对称
x≤-1时,设f(x)=x+b,则
0=-2+b
b=2,即x≤-1,f(x)=x+2
所以x≥1,f(x)=f(-x)=-x+2
-1≤x≤1,f(x)为抛物线,顶点为(0,2),对称轴为y轴,设f(x)=ax^2+2,则
-1=a+2,a=-1
所以-1≤x≤1,f(x)=-x^2+2
f(x)=x+2 (x≤-1)
f(x)=-x^2+2 (-1≤x≤1)
f(x)=-x+2 (x≥1)
2、∵定义在R上的函数y=fx满足f(2+x)=f(2-x)
∴图像关于x=2对称
∵是偶函数
∴关于y轴对称
当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1
∴当x∈[-2,0]时,f(x)=-2x-1
∴当x∈[2,4]时,由x∈[-2,0]时的图像向右平移4个单位f(x)=-2(x-4)-1
∴当x∈[-4,-2]时,f(x)=-(-2(x-4))-1=2x+7
∴x∈[-4,0]时分为两段,当x∈[-4,-2]时(x)=2x+7
当x∈[-2,0]时,f(x)=-2x-1
x≤-1时,设f(x)=x+b,则
0=-2+b
b=2,即x≤-1,f(x)=x+2
所以x≥1,f(x)=f(-x)=-x+2
-1≤x≤1,f(x)为抛物线,顶点为(0,2),对称轴为y轴,设f(x)=ax^2+2,则
-1=a+2,a=-1
所以-1≤x≤1,f(x)=-x^2+2
f(x)=x+2 (x≤-1)
f(x)=-x^2+2 (-1≤x≤1)
f(x)=-x+2 (x≥1)
2、∵定义在R上的函数y=fx满足f(2+x)=f(2-x)
∴图像关于x=2对称
∵是偶函数
∴关于y轴对称
当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1
∴当x∈[-2,0]时,f(x)=-2x-1
∴当x∈[2,4]时,由x∈[-2,0]时的图像向右平移4个单位f(x)=-2(x-4)-1
∴当x∈[-4,-2]时,f(x)=-(-2(x-4))-1=2x+7
∴x∈[-4,0]时分为两段,当x∈[-4,-2]时(x)=2x+7
当x∈[-2,0]时,f(x)=-2x-1
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