Question

如图,已知:梯形ABCD中,AD‖BC,AB⊥BC,AD=CD=5,AB=4，点P在BC上运动（点P不与B、C重合），点E在射线CD上，

∠APB=∠EPC.
（1）当PE=CE，求BP的长；
（2）当E在线段CD上时，设BP=x，DE=y，求y关于x的解析式，并写出定义域；
（3）联结PD，以点A、P、D为定点的三角形与△PCE相似，求BP.

Answer 1

解：（1）过点D作DF⊥BC于点F
根据已知易求得BC=8（过程很简单，自己算）
∵PE=CE∴∠EPC=∠C
又∵∠APB=∠EPC∴∠APB=∠C
∴AP∥DC 可得四边形ADCP是平行四边形
∴PC=AD=5
∴BP=3
（2）过点E作EG⊥BC于点G
易证△ABP∽△EGP
∴AB/EG=BP/GP 即4/EG=x/GP
∴GP=(x·EG)/4
∵DF∥EG
∴EG/DF=CE/CD=CG/CF 即EG/4=(5-y)/5=CG/3
∴CG=(15-3y)/5
又∵GP=8-x-（15-3y）/5=（x·EG）/4=(5-y)x/5
∴整理，可得y=（10x-25）/(x+3) (这个不会求不出吧……求不出再问我吧……）
∵点E在线段CD上
算出当y=0时x的值和当y=5时x的值
∴函数定义域为 5/2≤x＜8
（3）∵AD∥BC∴∠DAP=∠APB，
∵∠APB=∠EPC∴∠DAP=∠EPC
若△APD与△PCE相似，则有如下两种情况：
（ⅰ）∠ADP=∠C时，
易推出BP=2时，△APD∽△PEC；（求出PD=CD,PF=CF,再用勾股定理算出CF的长推得CP=6）
（ⅱ）∠APD=∠C时
又∵∠ADP=∠DPC∴△APD∽△DCP
∴PD²=AD•PC
∵PD²=4²+（5-x）²
∴16+（5-x）²=5（8-x）
解得 x1、2=(5±√21)/2，两解的值都在0到8之间，均符合题意
故 x1、2=(5±√21)/2时，△APD∽△PCE；
∴当BP为2， (5±√21)/2时，△APD与△PCE相似

Answer 2

解：（1）根据已知，得BC=8，∠APB=∠EPC
∵PE=CE∴∠EPC=∠C
∴∠APB=∠C
∴AP∥DC
∴PC=AD=5
∴BP=3
即BP=3时，PE=CE
（2）延长PE与AD的延长线交于点F，
∵BP=x∴PC=8-x，AF=2x
∵DE=y，DC=AD=5∴EC=5-y，DF=2x-5
∵AF∥BC
∴ DF/PC=DE/EC
即( 2x-5)/(8-x)=y/(5-y)
∴ y=5(2x-5)/(x+3)
∵点E在线段CD上
∴函数定义域为 5/2≤x＜8
（3）∵AD∥BC∴∠DAP=∠APB，
∵∠APB=∠EPC∴∠DAP=∠EPC
若△APD与△PCE相似，则有如下两种情况：
（ⅰ）∠ADP=∠C时，
推出BP=2时，△APD∽△PEC；
（ⅱ）∠APD=∠C时
又∵∠ADP=∠DPC∴△APD∽△DCP
∴PD2=AD•PC
∵PD²=4²+（5-x）²
∴16+（5-x）²=5（8-x）
解得 x1，2=(5±√21)/2，经检验，均符合题意
故 x1，2=(5±√21)/2时，△APD∽△PCE；
∴当BP为2， (5±√21)/2时，△APD与△PCE相似．

Answer 3

1.因为PE=CE，所以∠C=∠EPC，推出∠APB=∠C所以AP平行DC，那么ADCP是平行四边形
AP=DC=5，用勾股定理算出BP=3
2.BP=3，PC=5所以BC固定BC=8
过点D,E分别做垂线垂直BC为F,H点则BF=5，CF=3 利用CE/CD=CH/CF 计算出CH=3-9/5y
在利用三角形ABP相似三角形PEF得到PH/BP=EH/AB=CE/CD整理后得y=10x-25/3+x
定义域为X在2点5到8之间
3由于两三角形相似，且∠EPC不可能等于∠ADP所以只能是∠ADP=∠C则知道CD=DP=5可以算出PC=6 所以这时BP=2

Answer 4

解：（1）根据已知，得BC=8，∠APB=∠EPC
∵PE=CE∴∠EPC=∠C
∴∠APB=∠C
∴AP∥DC
∴PC=AD=5
∴BP=3
即BP=3时，PE=CE
（2）延长PE与AD的延长线交于点F，
∵BP=x∴PC=8-x，AF=2x
∵DE=y，DC=AD=5∴EC=5-y，DF=2x-5
∵AF∥BC
∴ DF/PC=DE/EC
即( 2x-5)/(8-x)=y/(5-y)
∴ y=5(2x-5)/(x+3)
∵点E在线段CD上
∴函数定义域为 5/2≤x＜8
（3）∵AD∥BC∴∠DAP=∠APB，
∵∠APB=∠EPC∴∠DAP=∠EPC
若△APD与△PCE相似，则有如下两种情况：
（ⅰ）∠ADP=∠C时，
推出BP=2时，△APD∽△PEC；
（ⅱ）∠APD=∠C时
又∵∠ADP=∠DPC∴△APD∽△DCP
∴PD2=AD•PC
∵PD²=4²+（5-x）²
∴16+（5-x）²=5（8-x）
解得 x1，2=(5±√21)/2，经检验，均符合题意
故 x1，2=(5±√21)/2时，△APD∽△PCE；
∴当BP为2， (5±√21)/2时，△APD与△PCE相似．

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