Question

在正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE.AEF=45°

求F-BD-A的大小。、求详细过程

Answer 1

如图，在平面ABEF上作FH⊥直线AB, 在平面ABCD上作HP⊥BD.

易知∠HPF是所求二面角的平面角。

设AB＝2,  则FH＝HA＝1,BH＝3  HP＝3/√2

tan∠HPF＝1/﹙3/√2﹚＝√2/3   ∠HPF＝arctan√2/3 ≈25°14′22″

二面角F-BD-A的大小为25°14′22″。

Answer 2

由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知EA⊥平面ABCD、
作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA、从而FG⊥平面ABCD，
作GH⊥BD于H，连接FH，则由三垂线定理知BD⊥FH、
∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角、
∵FA=FE，∠AEF=45°，
∠AEF=90°，∠FAG=45°、
设AB=1，则AE=1，AF= 22，则 FG=AF•sinFAG=12
在Rt△BGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+ 12= 32，
GH=BG•sinGBH=32•22=324，
在Rt△FGH中， tanFHG=FGGH=23，
∴二面角F-BD-A的大小为 arctan23