Question

p为三角形ABC外一点，p和A，B，C的的距离相等，角BAC为90度，求证：平面PCB垂直平面ABC

Answer 1

证明：取BC的中点D，连结PD、AD，∵D是直角三角形ABC的斜边BC的中点∴BD=CD=AD，又PA=PB=PC，PD是公共边∴∠PDA=∠PDB=∠POC=90°∴PD⊥BC，PD⊥DA，PD⊥平面ABC∴又PD平面PCB∴平面PCB⊥平面ABC。

Answer 2

过P作PQ⊥面ABC于Q，则Q为P在面ABC的投影，因为P到A，B，C的距离相等，所以有QA=QB=QC，即Q为三角形ABC的中心，因为角BAC为直，所以Q在线段BC上，所以在面PCB上有线段PQ⊥平面ABC，故平面PCB⊥平面ABC