Question

高数可积与连续，间断点之间的关系。

首先可能我的表述有不对的地方，望高手指正。而且有些问题可能显得幼稚。也望能够耐心解释一下。谢谢了。1。不定积分的可积和存在原函数有什么关系？2。不定积分和定积分有什么本质区别？有什么关系？3。李永乐的书说函数有第一类间断点的不存在原函数。对吧？那么第二类间断点的是可能可积的还是一定可积的？4。后边定积分里说函数是在区间ab有有限个间断点的有界函数也可以积分，对吧？那么，此处的间断点分类型么？包含无穷间断点么？如果包含的话，函数可以说是有界函数么？还是这里的间断点就特指是第一类间断点？？5。变上限积分问题。上限是x，下限是无穷。可以认为是变上限积分，可以直接求导么？正负无穷在定积分里是可以算作一个常数的么？如果一个二重积分，先对y负无穷到一个常数积分，再对x负无穷到另一个常数b积分。是不是可以直接把他们当作两个一重积分求，然后相乘？？二重积分可以化为两个一重积分之积的条件又有哪些呢？谢谢了。。问题有些多。希望高手指点下。提醒一下。回答希望不要自相矛盾。分不多了。。只有八十多。回答满意再把剩下的送啦。
谢谢一楼的回答。但是你的回答有很多矛盾的地方。晚上我再附上细节。
细节如下。一楼。
1.你认为一个函数存在原函数和可以被不定积分是等价的。这我有些怀疑。你下面又说第一类间断点存在原函数。我想这是错误的。
2.定积分的几何意义是面积。我想这是你失误打错的。
3。第二类间断点不可积分。这是你的观点。我需要一些解释和你观点所来的参考。谢谢。麻烦了。书上说函数有有限个间断点是可以定积分的。但是并未强调是第一类还是第二类间断点。我个人觉得第二类间断点比如无穷间断点，这样的函数是无界的。定积分的必要条件都不满足，何以积分。
4。你说可以直接求导，又附加了一个条件，说是只要无穷时有极限即可。这不矛盾么？呵呵。。变上限积分直接求导后相当于原函数的导数。需要多次一举先判断极限么？
5.二重积分有的是可以相乘的。只要积分域上下限是常数。这样可以看作两个一重积分的乘积。你可以举例算一下。对于无穷是否可以算作常数这个问题你未给明确解释。
再次谢谢你的回答。希望互相探讨。

Answer 1

1。不定积分的可积和存在原函数是等价的关系
2。不定积分和定积分有什么本质区别？有什么关系？
这个就是牛顿－莱布尼茨公式
3。李永乐的书说函数有第一类间断点的不存在原函数。对吧？
第一类间断点是可去间断点，添加一个可去点才连续，因此单独的这种函数，是不存在统一的原函数的，也有可能是分段的可积的
4。后边定积分里说函数是在区间ab有有限个间断点的有界函数也可以积分，对吧？那么，此处的间断点分类型么？包含无穷间断点么？如果包含的话，函数可以说是有界函数么？还是这里的间断点就特指是第一类间断点？？
定积分就是求面积，只是代用了不定积分的计算公式。
最后一个问题是广义积分，也就是定积分中的一种，如果函数在－∞或＋∞处存在值，那么就是可以求导的。

追问

最后一个问题。我是在变上限积分里遇到的。而且书上的做法是将其看作变上限直接求导的。此处非讨论反常积分。最重要的第四个问题你没回答。定积分的间断点。包含第二类间断点么？但是定积分的必要条件是有界。那第二类间断点。我认为是无界的。对否？下面的问题你也没回答。。不过还是谢谢了。。对于第一个你的回答。我不是很明确。我觉得不等价。存在原函数和可以不定积分是不一样的。需要一个说服的理由。谢谢

追答

变上限积分里书上的做法是将其看作变上限直接求导的，这是因为那些积分是存在的，在－∞处或＋∞处，所以可以看成是常数求导，变上限的就看成是普通函数求导。

定积分的间断点。包含第二类间断点么？但是定积分的必要条件是有界。那第二类间断点。我认为是无界的。对否

这种理解是正确的。如果无界的话，根据定积分的几何意义，这个定积分实际是不存在的。举个很简单的例子∫(0,x]1/xdx，这个积分就不可积的。

追问

那意思是定积分的间断点可积分只能是第一类间断点喽？可以这样认为？呵呵。。。
如果总结的话，就是第一类间断点不存在原函数。但是可以定积分。第二类间断点可能存在原函数。但是不能被定积分。
你可同意？这样表述有错误么？

追答

第一类间断点存在原函数，但在间断点不连续或无意义，也是可积的。

第二类间断点可能存在原函数。但是不能被定积分。

追问

谢谢你的帮助。不知你是否是失误打错了。还是怎样。你说第一类间断点存在原函数。这是错误的。可以查证。或者查看书里表述。很明确。再者。如果你说可积分。你这里认为是定积分的话，那没有什么问题。我不怀疑。第一类间断点可定积分。我也这样认为。但如果是不定积分的话就跟你一开始回答我的第一个问题矛盾了。我的第一问是不定积分和存在原函数是否是等价的。如果不存在原函数又可定积分，明显它们是不等价的。

追答

啊啊啊，看来业余遇到专业了。
考虑
∫e^(-x^2)dx
它的原函数是不存在的，但是它的定积分在一定情况下是存在的啊，并且这个函数没有间断点。

如果原函数只能以级数形式表示算为原函数不存在的话，那上面的话肯定就是正确的啦。也就是不存在原函数又可定积分，明显它们是不等价的

Answer 2

1.根据不定积分的定义，存在一个函数g ，它的导数是f ，则说g 是f的原函数。所以说原函数和不定积分存在是等价的。2.不定积分有几何意义，代表面积。根据牛顿来布尼兹公式，求定积分可先求其原函数。3.第一类间断点可以有原函数，只是原函数也是间断的，如f:x ，x属于大于0，f取1，x小于1。第二类间断点不可积，可积的函数有三类，不包括无界的函数，无穷函数是无界。5.可以直接求导，只要在无穷时有极限。对于二重积分不可以直接乘，可以化为两积分的条件是被积函数可化为两个单变量函数。