Question

已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)=lnx

(1)求函数y=xg(x)-2x的单调增区间
(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.
(3)是否存在实数a＞0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围.若不存在，请说明理由

Answer 1

h(x)=xg(x)-2x=xln(x)-2x,x>0.
h'(x)=ln(x)+1-2=ln(x)-1,
0<x<e时,h'(x)<0, h(x)单调递减.
x>e时,h'(x)>0,h(x)单调递增.

f(x)=ax^2/2 + 2x,
x>=1时,f'(x)=ax+2>=0.
x>=1,a>=0时显然满足要求.
x>=1,a<0时,
f'(x)=ax+2>=0,
ax>=-2,
ax>=-2>=-2x, a>=-2.
a的取值范围是a>=-2.

g(x)/x=ln(x)/x = f'(x)-(2a+1)=ax+2-(2a+1)=ax-2a+1, x>0.
ln(x)=ax^2 +(1-2a)x,
s(x)=ln(x) - ax^2 + (2a - 1)x,
1/e<x<e,a>0.
s'(x)=1/x - 2ax + 2a-1 = [-2ax^2 +(2a-1)x + 1]/x = [-2ax-1][x-1]/x = (2ax+1)(1-x)/x,
1/e<x<1时,s'(x)>0, s(x)单调递增. s(1/e)<s(x)<s(1).s(x)在1/e<x<1上至多有1个实根.
e>x>1时,s'(x)<0, s(x)单调递减. s(1)>s(x)>s(e).s(x)在e>x>1上至多有1个实根.
s(1/e)=-1-a/e^2 + (2a-1)/e = [(2a-1)e-a-e^2]/e^2 = [a^2 - (a-e)^2 - a - e]/e^2 .
s(e)=1-ae^2+(2a-1)e=1-e+ae(2-e)<0.
s(1)=a-1.
要使得s(x)在1/e<x<e上有2个不同的实根,则必须,s(1)>0, s(1/e)<0.
也即,
a>1,
0>(2a-1)e-a-e^2=a(2e-1)-e-e^2,
e+e^2>a(2e-1),
a<(e+e^2)/(2e-1).
(e+e^2)/(2e-1)>(e+e)/(2e-1)>(2e-1)/(2e-1)=1.
1<a<(e+e^2)/(2e-1)时,方程g(x)/x=f'(x)-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数根

Answer 2

解 （I） ，则
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以 <0有解.
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.
3）当a=0时，y=2x－1，显然有正解
综上所述，a的取值范围为（－1， +∞）.
2)根据题意，当1≤x≤4时， ≤0
即当1≤x≤4时，ax2+2x－1≥0
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，根据条件可知
a+2－1≥0且16a+8－1≥0，解得a≥-7/16
3）当a=0时，y=2x－1，显然满足
综上所述，a的取值范围为（－7/16， +∞）.