Question

已知P(x0,y0)是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是焦点,求证:

以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切
能不能不用和离心率有关的知识解 小弟还没学到那里

Answer 1

首先：以椭圆长轴为直径的圆，圆心显然是原点，半径为a，所以方程为：x^2+y^2=a^2；
设F2为右焦点，则F2(c,0)，又P(x0,y0)，
所以，以PF2为直径的圆，圆心为（ (c+x0)/2，y0/2 ）；
由焦半径公式，可知直径PF2=a-ex0，则半径=(a-ex0)/2；
所以，以PF2为直径的圆的方程为：[x-(c+x0)/2]^2+(y-y0/2)^2=(a-ex0)^2/4；
两个圆：x^2+y^2=a^2和[x-(c+x0)/2]^2+(y-y0/2)^2=(a-ex0)^2/4；
R1-R2=a-(a-ex0)/2=(a+ex0)/2；
而圆心距d^2= (c+x0)^2/4+y0^2/4=(c^2+2cx0+x0^2+y0^2)/4，①
因为P在椭圆上，所以y0^2=b^2-(b^2*x0^2/a^2)
代入①式，得d^2=[c^2+b^2+2cx0+x0^2-(b^2*x0^2/a^2)]/4
整理得：d^2=[a^2+2cx0+(ex0)^2]/4
注意观察：a^2+2cx0+(ex0)^2恰好=(a+ex0)^2，所以d^2=(a+ex0)^2/4
即圆心距d=(a+ex0)/2
也就证得圆心距=半径差，所以两圆向内切，题设得证

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

追问

能不能不用和离心率有关的知识解 小弟还没学到那里

追答

只有PF2的长度用了离心率，没学的话，你就用两点的距离公式吧

Answer 2

PF2的圆以什么为圆心呢？还有椭圆长轴为直径的圆？

追问

以椭圆长轴为直径 就是和椭圆是同一个圆心 PF2的圆以线段PF2的中点为圆心 能不能不用离心率解题 我还没有学

追答

相内切是错误的，完全有可能相外切的！