Question

已知函数f（x）＝x/（1＋x^2）

已知函数f（x）＝x/（1＋x^2），证明在(-1，1)的单调性，没学到对数。
这个函数是奇函数

Answer 1

求函数的单调性有两种基本方法：做差比较法（也可以叫定义法，是最常用的方法）；做商比较法；该题可用做差比较法；
设：x1，x2属于（-1，1），且x1<x2；
得：f1（x1）＝x1/（1＋x1^2）；f2（x）＝x2/（1＋x2^2）；
令：f3=f2-f1；（分析：若f3>0,则函数单调递增；若f3<0，则单调递减;f2=0，则函数既不是单调递增也不是单调递减；）
f2-f1可化简为：（(x2-x1)(1-x2·x1)）/(1+x1^2)(1+x2^2);
因为：(1+x1^2)(1+x2^2)>0;
x2>x1;
所以：(x2-x1)>0;
又因为：x1，x2属于（-1.1）
所以（1-x2·x1）>0;
所以：f3>0;
即函数f1是单调递增函数

Answer 2

f(-x)=-f(x),所以f(x)奇函数。 f(x)=x+1/x，在x>0上为增函数，所以f(x)=x/(1+x^2)在R上为减函数。