Question

证明函数f(x)=x+1/x在(1,+∞)上是增函数

Answer 1

设有两个数分别为x1,x2;且x1<x2.
F(x)=f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2;
证明F（x）在(1,+∞)上小于0就可以了。。

追问

怎庅證明F（x）在(1,+∞)上小于0？

追答

F(X)=f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(1-1/(x1x2))
由于11
所以x1-X20
所以F(X)=f(x)-f(y)<0

Answer 2

设x>y>1
f(x)-f(y)=(x+1/x)-(y+1/y)=(x-y)+(y-x)/(xy)=(x-y)(1-1/(xy))
由于x>y且xy>1
所以x-y>0 1-1/(xy)>0
所以f(x)-f(y)>0
f(x)>f(y)
所以f(x)在(1,+∞)上是增函数

Answer 3

设任意X1，X2在(1,+∞)，且X1<X2
f（X1)－f（X2)＝（X1+1/X1)－(X2+1/X2)
所以：＝X2－X1/X1X2
因为X1<X2
所以上述算式为正
所以f（X）＝X+1/X在(1,+∞)上是增函数

Answer 4

f(x)-f(y) = x-y + 1/x-1/y = x-y + (y-x)/xy=(x-y)(1-1/xy)
当x,y>1时，1-1/xy >0,所以当x>y时，f(x)-f(y)>0,所以函数是单调增函数