Question

求解一道关于三角函数的题目!!!!!!!!!!!!!!!!

A,B,C,D在同一条直线上 AB=2 BC=3 CD=4, BP⊥CP. 求tan∠APB*tan∠CPD (两角正切相乘).

已有两条辅助线 构造了两个直角三角形 图的最左边的字母是A, 最右边的是D.

希望有人能帮一下!!!!!!!!!!!!

谢谢了!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

解：作PE⊥BC于E，则∠apb=∠pbe-∠a；∠cpd=∠pde-∠c
设PE=h，BE=x，则CE=3-x，AE=2+x，DE=7-x

由bp⊥cp，可知三角形bcp为直角三角形
满足：pe^2=be*ce，即h^2=x(3-x)

tan∠pbe=h/x
tan∠a=h/(2+x)
tan∠pde=h/(3-x)
tan∠c=h/(7-x)

所以，tan∠apb=tan(∠pbe-∠a)
=[h/x-h/(2+x)]/[1+h^2/x(2+x)]
=2h/[x(2+x)+h^2]
=2h/[x(2+x)+x(3-x)]
=2h/5x
tan∠cpd=tan(∠pde-∠c)
=[h/(3-x)-h/(7-x)]/[1+h^2/(3-x)(7-x)]
=4h/[(3-x)(7-x)+h^2]
=4h/[(3-x)(7-x)+x(3-x)]
=4h/7(3-x)

所以，tan∠apb*tan∠cpd=(2h/5x)*[4h/7(3-x)]=(8/35)*h^2/x(3-x)=8/35