Question

奥数题目,高手请进!!

1.在一个三位数的百位数字与十位数字之间插入0,1,2,…,9中的一个数字得到的四位数恰是原三位数的9倍,求这样的三位数中最小的数与最大的数分别是多少?(要求写出简要过程)

2.如果把一个六位数的个位数移到最前面的十万位上,把其它各位的数字向后移一位,得到一个新的六位数,如果新数是原数的5倍,那麽原来的六位数是多少?(要求简要过程)

3.从甲站到乙站共有800千米,开始400千米是平路,接著300千米是上坡路,余下的是下坡路,一直火车在上坡路,平路,下坡路的速度比是3:4:5.
(1)若火车在平路上的速度是80千米/小时,那麽它匆甲站到乙站所用的时间比从乙站到甲站所用的时间多多少小时?
(2)若要求胡扯来回所用的时间相同,那麽火车从甲站到乙站在平路上的速度与乙站到甲站在平路上的速度的比是多少? (详细过程)

4.平面上有6个点,其中任何3个点都不再同一条直线上,以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形?从这些三角形中选出一些,如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点,最多可以选出多少个三角形?如果要求其中任何两个三角形没有公共边,最多可以选出多少个三角形? (前2问不要求说明理由)

5. 1/8能否表示为3个互异的正整数的倒数的和? 1/8能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和? 如果能,请给出一个例子;如果不能,请说明理由.(详答)

6.已知a,b,c都是整数,当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时,那麽代式5a+7b-22c的值是否一定能被13整除,为什麽? (简要过程)

请解答时写明题号,谢谢喇!!~ ^_^..
请你们快快帮我解答吧..谢谢喇!!!

Answer 1

5.解：（1）由于1/2 1/3 1/6 ，故有1/8=1/8*(1/2 1/3 1/6)=1/16 1/24 1/48 。所以，1/8 能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）。（2）解：
不妨设 a<b<c，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足1/8=1/a2+1/b2+1/c2

由a<b<c ，则有1/a2>1/b2>1/c2，从而 1/8=1/a2+1/b2+1/c2 < 3/a2
所以a2<24。又有1/8>1/a2 ，所以a2>8，故a2=9 或16。
若 a2=9，则有 1/b2+1/c2=1/8-1/9=1/72 ，由于 1/72<1/b2，并且2/b2>1/b2+1/c2=1/72 ，
所以b2>72，72<b2<144。
故 b2=81 ，100或121。将 b2=81 、100和121分别代入 c2=72b/b2-72 ，没有一个是完全平方数，说明当 a2=9 时， 无解。
若 a2=16 ，则 1/b2+1/c2=1/8-1/16=1/16 。类似地，可得：16<b2<32
，即 b2=25 ，
此时，c2= 16b2/b2-16=16*25/9不是整数。
综上所述，1/8 不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和。