Question

如图，在△ABC中，角ABC是60°，AD.CE分别平分角BAC,角ACB。求证AC=AE+CD

Answer 1

证明:在AC上截取AM=AE,连接FM.
∠B=60°,则∠BAC+∠ACB=120°.AD和CE均为角平分线,则∠FAC+∠FCA=60°.
即∠AFE=∠DFC=60°,∠AFC=120°.
又AF=AF.则⊿AEF≌⊿AMF(SAS),得FM=FD;∠AFM=∠AFE=60°.
则∠MFC=120°-∠AFM=60°=∠DFC;又FC=FC.
故⊿CMF≌⊿CDF(SAS),得CM=CD.
所以,AC=CM+AM=AE+CD..

Answer 2

设AD,CE交点为O,在AC上截取AF=AE,并连接OF,则:
∵∠EAO=∠FAO,AO=AO,AF=AE
∴△AEO≌△AFO
∴∠EOA=∠FOA
又∠AOC=∠EOA+∠AEO
=∠EOA+∠ABC+∠BCE
∵AD.CE分别平分角BAC,角ACB
∴∠AOC=120°
∴∠EOA=∠FOA=60°
∴∠FOC=∠DOC=60°
又∵∠FCO=∠DCO,CO=CO
∴△COD≌△COF
∴CF=CD
又∵AE=AF
∴AC=AE+CD