如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于E,BA,CE的延长线相交于F点。
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证明：(1) 因为∠BAC=90º ,AB=AC,BD平分∠ABC,所以∠EBC=∠EBF=π／8
又因为 BE⊥CF，所以∠EBC+∠BCE=90º,∠EBF+∠EFB=90º;
因此 ∠EFB=∠BCE; BF=BC 即△BCF是等腰三角形
(2)因为 BC·cos(π／4)=AB； BC·sin(π／8)=EC
所以 AB=[(√2／2)EC]÷sin(π／8)
又因为 AB／BD=cos(π／8),
所以 BD= AB／cos(π／8)=[(√2／2)EC]÷sin(π／8)÷cos(π／8)
=[(√2／2)EC]÷[½sin(π／4)]=2EC
又因为 BE⊥CF，所以∠EBC+∠BCE=90º,∠EBF+∠EFB=90º;
因此 ∠EFB=∠BCE; BF=BC 即△BCF是等腰三角形
(2)因为 BC·cos(π／4)=AB； BC·sin(π／8)=EC
所以 AB=[(√2／2)EC]÷sin(π／8)
又因为 AB／BD=cos(π／8),
所以 BD= AB／cos(π／8)=[(√2／2)EC]÷sin(π／8)÷cos(π／8)
=[(√2／2)EC]÷[½sin(π／4)]=2EC
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