Question

用单调性的定义证明f(x)=x^3是R上的增函数 注：要详细的过程。

Answer 1

证明：

函数f(x)=3^x+1/(3^x)定义域为R
任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2>0，则
f(x1)-f(x2)
=3^(x1)+1/[3^(x1)]-3^(x2)-1/[3^(x2)]
=[3^(x1)-3^(x2)]+[3^(x2)-3^(x1)]/3^(x1+x2)
=[3^(x1)-3^(x2)]*[1-1/3^(x1+x2)]
=[3^(x1)-3^(x2)]*
∵x1>x2>0
∴x1+x2>0
∴3^(x1)-3^(x2)>0
3^(x1+x2)-1>0
3^(x1+x2)>0
∴f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
根据单调性的定义知，f(x)在(0,+∞)上是增函数

证毕

Answer 2

可设a, b∈R,且a＜b
a³-b³
=(a-b)(a²+ab+b²)
(a-b)[(a+b/2)²+(3b²/4)]＞0
∴a³＞b³
∴函数y=x³在R上递增.

Answer 3

在R上任取x1，X2，且X1<X2。
那么f(X1)-f(X2)=X1三次方—X2三次方＝(X1—X2)(X1平方十X1X2 X2平方）
x1三次方一X2三次方＞O
f(x1)>f(X2)
所以f(x)＝X三次方是增函数。