Question

定义在非零实数集上的函数f(x)对任意非零实数x,y恒有f（xy）=f（x）+f（y），当x

当x属于（0，正无穷大）时，f（x）为增函数，且f（2)=1
（1）求F（-1）。并求证；f（x）为偶函数（2）判断并证明f（x）在（-无穷大，0）的单调性。（3）解不等式；f（x）-f（x-2）＞3

Answer 1

f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1), f(1)=0.
0=f(1)=f[(-1)(-1)]=f(-1)+f(-1), f(-1)=0.

f[x^2] = f(x*x) = f(x) + f(x) = 2f(x),
2f(x)=f[x^2] = f[(-x)*(-x)] = f(-x)+f(-x) = 2f(-x),
f(-x)=f(x), f(x)为偶函数.

f(x)为偶函数,且在x>0时单调递增,所以,在x<0时,单调递减.

f(8)=f(2*4)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2*2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)=3,
f(x-2)+3=f(x-2)+f(8)=f[8(x-2)]<f(x),
若x>2,则8(x-2)>0, x>0, 8(x-2)<x, 7x<16, x<16/7, 2<x<16/7.
若0<x<2,则x>0, 8(2-x)>0, f[8(x-2)]=f[8(2-x)]<f(x), 8(2-x)<x, 16<9x, x>16/9, 16/9<x<2.
若x<0,则-x>0,8(2-x)>0, f[8(x-2)]=f[8(2-x)]<f(x)=f(-x), 8(2-x)<-x, 16<7x, x>16/7.无解.
综合,有不等式f(x)-f(x-2)>3的解为, 16/9<x<2 或 2<x<16/7

Answer 2

题不完整

追问

补充好了题目！看一下哈，谢谢！