Question

一道关于立体几何的高中数学题。

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60º，PA=AC=a，PB=PD=√2a，点E，F分别在PD,BC上，且PE:ED=BF:FC。
⑴求证PA⊥平面ABCD；
⑵求证：EF∥平面ABCD。
不好意思，纠正一下第⑵问不是求证：EF∥平面ABCD，而是求证：EF//平面PBA

Answer 1

(1）△ABC内,AB=BC,∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形∴AB=AC=a,又PA=a,PB=√2a,
∴AB²+PA²=PB²，故△PBA为直角三角形，∴PA⊥AB，同理证得PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD
(2)题目出错了。猜想应该是改成“EF//平面PBA”。
取PC上一点G,使得PG/GC=PE/ED,则PG/GC=BF/CF,EG//CD//AB,∴FG//BP,∴平面GFE//平面PBA∴EF//平面PBA

Answer 2

1\∵ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD
∵∠ABC=60º
∴AB=BC=CD=AD=AC=PA=a
△PAC中
pA²+AC²=2a²
PC²=(√2a)²=2a²
即pA²+AC²=PC²
∴∠PAC=90
同理△PAD中
pA²+AC²=PD²
即∠PAD=90
即PA⊥AD
PA⊥AC
∴PA⊥平面ABCD
2、
F点在BC上
所以EF不会平行于面ABCD

Answer 3

（1）∵∠ABC=60，abcd是菱形
∴∠CAB=120/2=60,△CAB是等边三角形
∵AC=a，△CAB是等边三角形，abcd是菱形
∴AB=AD=BC=CD=a
∵PB=PD=√2a，PA=a，AB=AD=a
∴△PAB、△PAD是直角三角形，PA⊥AB、PA⊥AD
∵PA⊥AB、PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD