Question

(1/2)已知锐角三角形ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，求证：（1）三角形ABC为等腰三角形.（2）判...

(1/2)已知锐角三角形ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，求证：（1）三角形ABC为等腰三角形.（2）判断O是否在角ABC的角平

Answer 1

（1）∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）连接AO并延长交BC于F，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AF是BC的垂直平分线，
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．

Answer 2

（1）∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）连接AO并延长交BC于F，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AF是BC的垂直平分线，
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及垂直平分线的判定等知识．

Answer 3

证明:(1)OB=OC,则∠OBC=∠OCB.
又∠BOD=∠COE;∠BDO=∠CEO=90度.
则⊿BDO≌⊿CEO,得OD=OE;∠OBD=∠OCE.
所以,∠EBC=∠DCB,得AB=AC
(2)OB不一定平分∠ABC,但OA一定平分∠BAC.
OD=OE,所以点O在角BAC的平分线上.

（2）点O是在∠BAC的角平分线上。连结AO.

∵ △BDC≌△CEB ∴DC=EB,
∵OB=OC ∴ OD=OE
又∵∠BDC=∠CEB=90° AO=AO
∴△ADO≌△AEO（HL）
∴∠DAO=∠EAO
∴点O是在∠BAC的角平分线上。

Answer 4

（1）因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB,因为∠ACE=90°-∠A，∠ABD=90°-∠A,所以∠ACE=∠ABD
所以∠OBC+∠ACE=∠ABD+∠OCB,即∠ABC=∠ACB,所以AB=AC，三角形ABC为等腰三角形.