Question

当x∈（1,2）时，不等式x^2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是？

m＜-（x+4/X）的最小值，最小值是 -5，但为什么最后不是m＜-5而不是≤-5？
对不起，写错了，为什么最后不是≤-5 而不是m＜-5？

Answer 1

x^2+mx+4<0在x∈(1,2)恒成立
m<-(x^2+4)/x=-(x+4/x)
-(x+4/x)在x∈(1,2)的值域是(-5,-4)
所以m是可以取到-5的，因为-(x+4/x)没法取到-5，而m只要恒小于-(x+4/x)就可以，-5恒小于-(x+4/x) (x∈(1,2))

Answer 2

一画图：就知f(x)=x^2+mx+4必过点（0,4）
∴要f(x)<0恒成立，需对称轴在原点右边，即
m<0且f(1)≤0，f(2)≤0这样有两个根△>0
综合解得取交集m≤-5
即m∈(-∞，-5]

Answer 3

因为x∈（1,2），这里的x所属的区间是开区间，所以m要去闭区间
第二点要说的，在拿不准的情况下，你可以将m=-5代入原方程试一下是否符合题意，不就明白了吗？

Answer 4

一画图:就知f(x)=x^2+mx+4必过点(0,4)
∴要f(x)<0恒成立，需对称轴在原点右边，即
m<0且f(1)≤0，f(2)≤0这样有两个根△>0
综合解得取交集m≤-5
即m∈(-∞，-5]