Question

用定义法证明sinx/根号X的极限为0

Answer 1

sinx/sqrt(x) = (sinx/x)*sqrt(x), let x-->0, so lim sinx/sqrt(x) = [lim(sinx/x)]*[lim sqrt(x)] = 0,

定义域为(0, 正无穷）,

利用lim (sinx/x) = 1, 容易通过定义证明 sinx/sqrt(x) = (sinx/x)*sqrt(x)的极限为0，因为前面的因子可以保证(sinx/x)<1+a, 然后设法使sqrt(x)<delta/(1+a)， 即x<[delta/(1+a)]^2, 就可以使

sinx/sqrt(x) < delta， 这里delta是任意指定的一个小正实数。

追问

可是 我要用定义证明的话 应该找出delta才行啊 也就是说存在delta 使丨f（x）-A丨<delta 而你这里最后给的是x

追答

先给定任意小的正数delta>0, 存在区间(0, [delta/(1+a)]^2), 满足丨f（x）-A丨<delta。

我把定义中的YIPSILONG简称为delta了，一个意思。

寻找到的邻域是(0, [delta/(1+a)]^2),这里的a可以取固定值，如a=1，显然有(sinx/x)<1+a成立。

追问

有点没懂 我先想一下 想好了再问你

追答

把解答中的符号delta都换成YIPSILONG, 这会把找到的区间(0, [delta/(1+a)]^2)
变为(0, [YIPSILONG/(1+a)]^2)，故定义中的delta邻域的delta = [YIPSILONG/(1+a)]^2

追问

我的问题有误啊 是x→+无穷时候的 而不是x→0时候的

追答

|sinx/sqrt(x)|1/(YIPSILONG^2), 就可以使

|sinx/sqrt(x)| < YIPSILONG， 这里DELTA = 1/(YIPSILONG^2)。

追问

还有个问题 假如说按照x→0的话那么证明应该按照你最上面的证法 但是显然有个问题在里面 定义法求极限时可以让delta为任何数（大于0）但是我们必须说明a存在才可以证明 可是上面证明没有找出可行的a

追答

这里的a可以取固定值，如a=1，显然有(sinx/x)<1+a成立。