Question

已知a∈R,函数f(x)=(-x^2=ax)e^x,(x∈R,e为自然对数的底数) （1）若函数f(x)在(-1,1)

已知a∈R,函数f(x)=(-x^2=ax)e^x,(x∈R,e为自然对数的底数)
（1）若函数f(x)在(-1,1)上单调递增，求a的取值范围
（2）函数f(x)是否为R上的单调递减函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由

Answer 1

f(x)=(-x²+ax)e^x
(1)f'(x)=(-2x+a)e^x+(-x²+ax)e^x=-[x²-(a-2)x-a]e^x
在（-1,1)上，f'(x)≥0，即x²-(a-2)x-a≤0，(x²+2x)/(x+1)≤a恒成立
令g(x)=(x²+2x)/(x+1),x+1=t,x=t-1,t∈(0,2),g(t)=(t²-1)/t=t-(1/t)
g(t)在(0,2)上为增，要使得t-(1/t)≤a，在区间(0,2)上恒成立，只需g(2)≤a,故a≥3/2
(2)只需x²-(a-2)x-a≥0恒成立。故△=(a-2)²+4a≤0,解得a≥2/3或a≤-2.