Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点。（1）求证MN//平面A1CD

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点。（1）求证MN//平面A1CD
（2）过N,C,D三点的平面把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积比值

Answer 1

（1）证法1：设点P（2）为AD（3）的中点，连接MP，NP（4）．
∵点M是BC的中点，
∴MP∥CD．
∵CD在平面A1CD内，MP不在平面A1CD内，
∴MP∥平面A1CD．（2分）
∵点N是AA1的中点，
∴NP∥A1D．
∵A1D在平面A1CD内，NP不在平面A1CD内，
∴NP∥平面A1CD．（4分）
∵MP∩NP=P，MP在平面MNP，NP在平面MNP，
∴平面MNP∥平面A1CD．
∵MN在平面MNP，
∴MN∥平面A1CD．（6分）
证法2：连接AM并延长AM与DC的延长线交于点P，连接A1P，
∵点M是BC的中点，
∴BM=MC．
∵∠BMA=∠CMP，∠MBA=∠MCP=90°，
∴RtMBA≌RtMCP．（2分）
∴AM=MP．
∵点N是AA1的中点，
∴MN∥A1P．（4分）
∵A1P在平面A1CD，MN不在平面A1CD，
∴MN∥平面A1CD．（6分）

（2）解：取BB1的中点Q，连接NQ，CQ，
∵点N是AA1的中点，
∴NQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴NQ∥CD．
∴过N，C，D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体，
其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD，另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1．（8分）
∴S△QBC=1 2 •QB•BC=1 2 ×1×1=1/2 ，
∴直三棱柱QBC-NAD的体积V1=S△QBC•AB=1/2 ，（10分）
∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2，
∴直四棱柱B1QCC1-A1NDD1体积V2=V-V1=3/2 ．（12分）
∴所截成的两部分几何体的体积的比值为1/3 ．（14分）
（说明：V2/ V1=3也给分）

Answer 2

1）证法1：设点P（2）为AD（3）的中点，连接MP，NP（4）．
∵点M是BC的中点，
∴MP∥CD．
∵CD在平面A1CD内，MP不在平面A1CD内，
∴MP∥平面A1CD．（2分）
∵点N是AA1的中点，
∴NP∥A1D．
∵A1D在平面A1CD内，NP不在平面A1CD内，
∴NP∥平面A1CD．（4分）
∵MP∩NP=P，MP在平面MNP，NP在平面MNP，
∴平面MNP∥平面A1CD．
∵MN在平面MNP，
∴MN∥平面A1CD．（6分）
证法2：连接AM并延长AM与DC的延长线交于点P，连接A1P，
∵点M是BC的中点，
∴BM=MC．
∵∠BMA=∠CMP，∠MBA=∠MCP=90°，
∴RtMBA≌RtMCP．（2分）
∴AM=MP．
∵点N是AA1的中点，
∴MN∥A1P．（4分）
∵A1P在平面A1CD，MN不在平面A1CD，
∴MN∥平面A1CD．（6分）

（2）解：取BB1的中点Q，连接NQ，CQ，
∵点N是AA1的中点，
∴NQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴NQ∥CD．
∴过N，C，D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体，
其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD，另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1．（8分）
∴S△QBC=1 2 •QB•BC=1 2 ×1×1=1/2 ，
∴直三棱柱QBC-NAD的体积V1=S△QBC•AB=1/2 ，（10分）
∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2，
∴直四棱柱B1QCC1-A1NDD1体积V2=V-V1=3/2 ．（12分）
∴所截成的两部分几何体的体积的比值为1/3 ．（14分）
（说明：V2/ V1=3也给分）

Answer 3

第一问取CB1中点M，由MN//A1K以及A1K属于平面A1CD即可得出结论；
(2)作NK//CD交BB1于K
则NCDK共面
故过N、C、D三点的平面与长方体交得的平面是NKCD
截成的两部分分别是三棱柱NAD-KBC与四棱柱A1NDD1-B1KCC1
这两部分高相等
故体积之比等于其底面积之比及S(AND):S(NDD1A1)=1:3

Answer 4

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Answer 5

我可以给你解答，请楼主提高悬赏分，我保证有答案，图示一个长方体，里面有三条虚线对吧