Question

如图,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=0和x=4时，y的值相等。直线y=

如图,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=0和x=4时,y的值相等,直线y=4x-16与这条直线相交于两点,其中一点的横坐标是3,另一点是这条抛物线的顶点M.
1.求这条抛物线的解析式；
2.P为线段OM上的一点,过点P作PQ⊥x轴于点Q。若P在线段OM上运动(点P不与点O重合，但可以与点M重合),设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
3.随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；
随着点P的运动,是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值。

Answer 1

1.由条件当x=0和x=4时,y的值相等可知抛物线的对称轴为x=2
又抛物线顶点在直线y=4x-16上，所以M（2，-8）
所以抛物线解析式为Y=x^2-4x-4
2.由条件知C（0，-4），所以四边形PQCO为一个直角梯形,又由O(0,0),M(2，-8)可知直线0M为Y=-4x,所以P(t,-4t)
所以S=1/2OQ(OC+PQ)即S=1/2t(4+4t)=2t^2+2t,0<t<=2
3.当0<t<=2是，S单调递增，所以最大值为t=2时，所以S=12，此时Q(2,0)
PO=OC,所以t^2+16t^2=16,所以t^2=16/17