Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x大于等于0时f（x）=2x-x的平方。问是否存在这样的正数a，b，当

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x大于等于0时f（x）=2x-x的平方。问是否存在这样的正数a，b，当x属于『ab』时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为『b分之1，a分之1』若存在求

Answer 1

因为函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x大于等于0时f（x）=2x-x^2，那么函数y=f(x)，当x<0时 f(x)=x^2+2x，其函数图象草画如上图。 问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[1/b，1/a]，可以理解成函数y=f(x)的图象上是否存在一段曲线，该曲线上点的横坐标在[a，b]上，纵坐标在[1/b，1/a]上。下面我们用探究的方式，去找正数a、b。 因为a、b0，从图上看出，要找的那段曲线只能在y=f(x)图象当x∈（0，2]的部分上，即[a，b]是（0，2]的子集。 如果0<a<1，那么1/a1，但函数y=f(x)，x∈（0，2]的值域是（0，1]，区间[1/b，1/a]不是（0，1]的子集； 如果0<b<1，那么1/b1，但函数y=f(x)，x∈（0，2]的值域是（0，1]，区间[1/b，1/a]不是（0，1]的子集； 那么范围缩小到[a，b]是[1，2]的子集，此时[1/b，1/a]也是（0，1]的子集，而且a<b也能得到1/b<1/a，看来要找的a、b要浮出水面了（^&^） 如果f(a)=1/b，且f(b)=1/a，那么2a-a^2=1/b.....（Ａ） 2b-b^2=1/a......(B) 由（Ａ）÷（Ｂ）得到：（２a-a^2)/(2b-b^2)=a/b，化简得（２-a)/(2-b)=1，得到a=b，与前提a<b矛盾。 如果f(b)=1/b ，那么2b-b^2=1/b，得到一个含b的一元三次方程：b^3-2b^2+1=0 容易看出b=1是这个方程的一个根，那么该方程可化为：(b-1)(b^2-b-1)=0 解一元二次方程：b^2-b-1=0，得：b=(√5+1)/2或b=(1-√5)/2(它小于零，舍去） 这样一来，f(b)=1/b在［１，２］上有两个根，他们是１，(√5+1)/2。 因f(1)=1，所以函数y=f(x)在［１，(√5+1)/2］上的值域是［２／(√5+1)，１］ 那么存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[1/b，1/a]，此时