Question

设f(x)=3ax²+2ax+c,若a+b+c=0，f(0)f(1)>0,

求证：1、f(x)=0有实根 2、设x1 x2是方程=0的两个实根，则√3/3≤|x1-x2|≤2/3

Answer 1

解：函数f(x)=3ax²+2bx+c.其中，a≠0,
a+b+c=0.且f(0)f(1) ＞0.
1.
方程3ax²+2bx+c=0. (a≠0).
判别式⊿=(2b) ²-4(3a)c=4(b²-3ac).
∵a+b+c=0. ∴b=-(a+c). ∴b²=a²+2ac+c²
∴b²-3ac=a²-ac+c²
∴⊿=4(a²-ac+c²)=(2a) ²-4ac+c²+3c²=(2a-c) ²+(3c²).
即判别式⊿=(2a-c) ²+(3c²)
∵f(0)f(1) ＞0. ∴f(0)=c≠0.
∴⊿=(2a-c) ²+(3c²)＞0.
∴方程f(x)=0有两个不相等的实数根
2. 证明：
由韦达定理可知：x1+x2=-(2b)/(3a).且x1x2=c/(3a)=-(a+b)/(3a)..
∴(x2-x1) ²=(x2+x1) ²-4x1x2
=[(4b²)/(9a²)]+4(a+b)/(3a)
=(4/9)[(b/a) ²+3(b/a)+3]=(4/9){[(b/a)+(3/2)] ²+(3/4)}.
令t=(b/a).则由-2＜b/a＜-1,可知，-2＜t＜-1.且
(x2-x1) ²=(4/9){[t+(3/2)] ²+(3/4)}
∵-2＜t＜-1. ∴3/4≤[t+(3/2)] ²+(3/4) ＜1.
∴1/3≤(4/9){[t+(3/2)] ²+(3/4)} ＜4/9
即：1/3≤(x2-x1) ²＜4/9.
∴(√3)/3≤|x2-x1|＜2/3.