Question

在△ABC中,a、b、c是△ABC的三边长,且关于x的方程a(1-x²)+c（1+x²）+2bx=0有等根

在△ABC中,a、b、c是△ABC的三边长,且关于x的方程a(1-x²)+c（1+x²）+2bx=0有等根，求证：△ABC为直角三角形。

Answer 1

证明：
a(1-x²)+c（1+x²）+2bx=0
a-ax²+c+cx²+2bx=0
（c-a）x²+2bx+a+c=0
方程有等根，说明根的判别式等于0
即△=（2b）² - 4*（c-a）*（a+c）
=4b² - 4*（c² - a²）
=4b² - 4c² + 4a²
=0
所以 b² - c² + a² = 0
即 b² + a² = c²
所以：△ABC为直角三角形。

Answer 2

化简方程：
(c-a)x^2+2bx+a+c=0
因为方程有等根，所以判别式=0
△=(2b)^2-4*(c-a)*(c+a)=0
4b^2-4c^2+4a^2=0
a^2+b^2=c^2;
所以三角形abc是RT△