Question

如图,CD是半径为1的圆O的直径,点A在圆O上,∠AOD=60°,B为弧AD的中点，在直径CD上求作一点P，使PA+PB的值最

如图,CD是半径为1的圆O的直径,点A在圆O上,∠AOD=60°,B为弧AD的中点，在直径CD上求作一点P，使PA+PB的值最小，并求PA+PB的最小值

Answer 1

作A关于直径CD的对称点E，连接BE，BE与CD的交点即为点P的位置。而BE的的长度即为PA+PB的最小值。
因为E是点A关于直径的对称点，所以角EOD等于角AOD等于六十度。
而B为弧AD的中点，所以角BOD等于二分之一角AOD等于三十度。
所以角BOE等于角EOD+角BOD=九十度。
在等腰直角三角形BOE中，斜边BE的长度等于直角边的根号2倍。直角边即为半径，所以BE等于根号2。

Answer 2

做点B关于直径CD的对称点交圆O于点E，连接AE，交CD于点P，则AE的长度为PA+PB的最小值，连接OE，因为点B是弧AD的中点，且角AOD=60°，所以角BOD=30°。因为E是点B关于CD的对称点，所以弧DE=弧BD，所以角DOE=角BOD=30°，所以角AOE=90°，因为AO＝1，所以AE=根号2

Answer 3

作A关于CD在圆O上的对称点A丶，连接A丶B，交CD于F，则AF+BF即为PA+PB的最小值，步骤不好说，自己写把

追问

就是AF+BF即为PA+PB的最小值怎么求

Answer 4

作A关于CD的对称点A`在圆上,有AA`垂直CD
连结A`B交CD于P,得P点（两点间直线最短）
连结AA`交CD于M,过B作BN垂直CD交于N
三角形PMA`和PNB相似
AB=BD=1/2=OM,AM=A`M=根号（3）/2，DN=1/4=MN,BN=根号（3）/4
MP=2/3*MN=2/3*(OD-OM-DN)=1/6
所以OP=OM+MP=1/2+1/6=2/3
最小值K^2=(MN)^2+(AM+BN)^2
K=根号（7）/2