Question

求教一道数学证明题

如图,ABCD是平行四边形,P是CD上一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CAB,过点P作AD的平行线,交AB于点Q
1.求证:AP⊥PB

2.如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多少?△APB的面积是多少?

Answer 1

1.证明:AD平行BC,则∠DAB+∠CBA=180度.
故∠PAB+∠PBA=(1/2)∠DAB+(1/2)∠CBA=90度.
所以,∠APB=90度,AP⊥PB.
2.解:AB平行CD,则∠DPA=∠PAB;
又∠DAP=∠PAB,则:∠DPA=∠DAP,得DP=DA=5;同理可求PC=BC=5.
故AB=10.
又AP垂直PB,则PB=√(AB^2-AP^2)=6,S⊿PAB=AP*PB/2=24.

Answer 2

你的题目有写错的地方：∠CAB应该为∠CBA
解问题1如下：
设∠BAP=a，∠ABP=b
∵∠BAP和∠ABP分别平分∠DAB、和∠CBA ∴∠DAB=2a，∠CBA=2b
∵平行四边形内角和为360°，且对角大小相等
∴∠DAB=∠DCB=2a，∠CDA=∠CBA=2b，2a+2a+2b+2b=360°
∴a+b=90°
∵三角形内角和为180°
∴∠BPA=180°-∠BAP-∠CBA=180°-（∠BAP+∠CBA）=180°-（a+b）=180°-90°=90°
∴AP⊥PB

Answer 3

1.解:∵ABCD为平行四边形.∴AD//BC所以∠DAB+∠CBA=180°
∵AP.BP分别平分∠DAB和∠CAB∴∠PAB+∠PBA=1/2×180=90°
∴∠APB=90°.∴AP⊥PB
2.解: ∵ABCD为平行四边形.∴AD//BC.DC//AB.又∵PQ//AD.∴AQPD为
平行四边形.得∠DAP=∠APQ.又∵∠DAP=∠PAQ.∴∠PAQ=∠APQ
∴AQ=PQ.且AD=PQ=5cm.∴AQ=PQ=5cm.同理:BQ=5cm.∴AB=10cm
过Q点作垂线MQ⊥BP.∵AP⊥PB.∴MQ⊥AP.又∵AQ=QB=5cm.
∴Q是线段AB的中点.所以M是线段BP的中点.即MQ是△BAP的中位线
∵AP=8cm.∴MQ=4cm.又∵BQ=5cm.∴BM=3cm.M是BP中点.
∴BP=3×2=6cm.S.Rt△APB=8×6/2=24cm²