斜三棱柱的底面的边长是4cm的正三角形，侧棱长为3cm，侧棱AA1与底面相邻两边都成60°角，
(1)
取BC的中点为E,B1C1的中点为F.连接AE,A1F, EF,AC1,AB1.AF.
容易证明EF//BB1, 而BB1//AA1, 即知EF//AA1,且EF=AA1,即EFA1A为平行四边形.
又易知B1C1垂直于A1F(等边三角形的中线). (a)
讨论三角形AA1B1,和AA1C1:
A1C1=A1B1, 角AA1C1 = 角AA1B1= 60度.AA1为公共边,即三角形AA1B1全等于三角形AA1C1.
故AC1 =AB1.知AF为B1C1的垂直平分线,,即B1C1垂直于AF (b)
由(a),(b),知B1C1垂直于平面AEFA1.(垂直于平面上的两相交直线,就垂直线于这平面.)
由此知:B1C1垂直于EF(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线)
从而B1C1垂直于BB1, 即知:侧面CC1B1B是矩形
(2)S(AA1B1B) = S(AA1C1C)=3*4*sin(60度)=6(根号3)
S(BB1C1C)=3*4=12.
故侧面积为S= 12(根号3)+12.
(3) 三角形AA1B1中:AB1=根号[16+9-2*4*3*cos60度]=根号[13] (余弦定理).
在直角三角形AFB1中:AF = 根号[AB1^2 -FB1^2]=根号[13-4]= 3.
在三角形AA1F中:cos(角AA1F) = [AA1^2+FA1^2- AF^2]/[2*AA1 *FA1]
=[9+12 -9]/[2*3*2(根号3)]=1/(根号3).
在平面AEFA1中,作AH垂直于A1F于H.
由于B1C1垂直于AH,故AH垂直于平面A1B1C1(垂直于平面上的相交直线A1F,B1C1,就垂直于这平面).
即AH为棱柱的高,而AH = AA1* sin(角AA1F).
求得Sin(角AA1F)=根号(2/3).=(根号6)/3
得:AH = 根号6.
底A1B1C1的面积=(1/2)*4*2(根号3)=4根号3.
最终得柱体体积V=4*(根号3)*(根号6) =12(根号2).
