Question

线性代数 有关特征值取值问题

A²+kA=0，则A的特征值只能取0和-k

A的m次方=0，则A的特征值只有0

难道A的特征值就不能有别的取值吗？

Answer 1

这个真的不能.

知识点:
1. 若λ是A的特征值, 则 f(λ) 是 f(A) 的特征值
2. 零矩阵的特征值只能是0

所以有
设λ是A的特征值, 则 λ^2+kλ 是 A^2+kA 的特征值
而 A^2+kA = 0
所以 λ^2+kλ = 0
所以 λ=0 或 -k
即 A的特征值只能取0和-k

另一个同理可证.

Answer 2

A-sI =0, A=sI, A^2=s^2I, A^2+kA = s^2I +ksI =0 所以 (s^2+ks)I=0,
显然，s只能是0或者-k，不能是其他。A^m=0也一样证明