Question

线性代数变换问题

任意矩阵都能通过初等行变换变为行最简型在通过初等列变换变成标准型，然而在学矩阵的逆时，老师说矩阵有逆的充要条件是其标准型为单位矩阵，还教我们求逆矩阵要只用行或者列变换，但我感觉求逆矩阵的过程就是求他的标准型（只不过把变换的矩阵最后乘起来得到逆）可问题就来了，单从通过行或列变换并不能得到标准型矩阵，这与老师跟我们说只能用行或列变换求逆矛盾啊

Answer 1

对于可逆矩阵是可以仅仅通过行变换或者列变换得到标准型矩阵的，你的论断“单从通过行或列变换并不能得到标准型矩阵”是错误的
方法很简单，以行变换为例，按照下列步骤一定可以求出可逆矩阵的标准型：
1. 找到第一列绝对值最大一个元素，通过行交换把它变换到(1,1)位置
2. 利用行变换消除第一列其他元素
3. 在第二列除去第一行的所有元素中找到绝对值最大的一个元素，通过行交换把他换到(2,2)
4. 利用行变换消去所有第二列其他元素
如此循环，最终必然是一个标准型

Answer 2

这个不矛盾

若A可逆, 则A只用行变换一定可以得到标准形

换句话说, 如果A只用行变换不能得到标准形, 那么A必不可逆

对列也一样.