Question

已知三棱锥P-ABC中，PA垂直于平面ABC，AB垂直于AC，PA=AC=1/2AB

已知三棱锥P-ABC中，PA垂直于平面ABC，AB垂直于AC，PA=AC=1/2AB，N为AB上一点，AB=4AN，M、D、S、分别为PB、AB、BC、的中点。
（1）求证：PA平行于平面CDM
（2）求证：SN垂直于平面CDM

Answer 1

(1)连接DM,知DM//PA (中位线定理)
故PA平行于平面CDM.( 一直线,平行于平面上的一条直线,它就平行于这个平面)
(2)设PA=AC=a, 则AB=2a
连接SD,且设SN与CD的交点为E. 由中位线定理知:SD//AC 且等于(1/2)a., 而ND=(1/2)a
即SD=ND.又角NDS为直角,故三角形NDS为等腰直角三角形,
又三角形CAD也是等腰直角三角形.
由此,角ADC=45度,从而推出角CDS=45度.即DE为等腰直角三角形顶角SDN的平分线.故DE垂直于SN (a)
又知PA垂直于平面ABC,故MD//PA,故MD垂直于平面ABC,即推出MD垂直于SN (b)
由(a)(b)知SN垂直DE,和MD, 即知SN垂直于平面CDM.(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这个平面)