Question

如图所示：△ABC是等边三角形，D是△ABC外一点，且∠BDA=∠ADC=60°，求证：BD+CD=AD。

Answer 1

证明：
延长BD到E点，使DE=DC，
∵∠BDC=120度，所以∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形
∴∠ECD=60度，CD=CE
∵∠BCE=∠ACD，又△ABC是等边三角形，AC=BC，
∴ACD≌△BCE
∴AD=BE=BD+DE=BD+DC

方法二：延长DB至E，使得DE=DA，连接AE
（第一步证明 △AED为等边三角形，这样就可以将所求证的问题转化，为下一步做准备）
由于∠EDA为60度，DE=DA，所以 △AED为等边三角形（由这个结果可以得出隐含条件AD=AE=DE)
(第二步证明 △AEB和 △ADC全等，这样就可以将CD“挪动”到BE处，和BD连接起来，从而达到求证结果）
因为AE=AD（第一步证明得出的隐含条件），AC=AB（题目中说 △ABC为等边三角形的隐含条件），∠EAB=∠DAC（因为∠EAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=60度），所以 △AEB与 △ADC全等（两边夹一角定理），所以CD=BE（最后证明结论）
所以AD=DE=BD+BE=BD+CD，即AD=BD+CD，证明完毕

Answer 2

证明：延长BD到E点，使DE=DC， ∵∠BDC=120度，所以∠CDE=60° ∴△CDE是等边三角形 ∴∠ECD=60度，CD=CE ∵∠BCE=∠ACD，又△ABC是等边三角形，AC=BC， ∴ACD≌△BCE ∴AD=BE=BD+DE=BD+DC 方法二：延长DB至E，使得DE=DA，连接AE（第一步证明 △AED为等边三角形，这样就可以将所求证的问题转化，为下一步做准备）由于∠EDA为60度，DE=DA，所以 △AED为等边三角形（由这个结果可以得出隐含条件AD=AE=DE)(第二步证明 △AEB和 △ADC全等，这样就可以将CD“挪动”到BE处，和BD连接起来，从而达到求证结果）因为AE=AD（第一步证明得出的隐含条件），AC=AB（题目中说 △ABC为等边三角形的隐含条件），∠EAB=∠DAC（因为∠EAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=60度），所以 △AEB与 △ADC全等（两边夹一角定理），所以CD=BE（最后证明结论）所以AD=DE=BD+BE=BD+CD，即AD=BD+CD