Question

如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AE=3,BE=1,点P为对角线AC上任意一点，连结PB、PE。

当点P在AC上何处时，PB+PE取得最小值？请画出此时点P的位置，并求PB+PE的最小值。

Answer 1

在正方形ABCD中,点E在AB上,AE=3,BE=1,点P为对角线AC上任意一点，连结PB、PE。当点P在AC上何处时，PB+PE取得最小值？请画出此时点P的位置，并求PB+PE的最小值。
解：过E作EF⊥AC，垂足为F，并延长使之与AD相交于M，连接BM，则BM与AC的交点就是所要求的P；此时PE+PB=PM+PB=BM=5，是PB+PE的最小值。
证明：∵ABCD是正方形，AC是对角线，∴按上面的作图方法所得M与E 关于AC对称，即AC是EM
的垂直平分线，故PE=PM，于是PE+PB=PM+PB=BM；当F偏离现在的位置到 P₁时，BMP₁构成一个三角形，故必有P₁B+P₁M>BM.
BM是RT△ABM的斜边，AB=4，AM=3，故BM=5。

Answer 2

由于点E、点B在AC同一旁，为了便于观察PB+PE的长度，利用对称把点E移到AC的另一边，该对称点不妨设为F；
有对称性质知，PB+PF=PB+PE
由两点间线段最短知，点F与点B之间的连线长度最短，即BF最短

解：以AC为对称轴作E的对称点F，则PB+PE=PB+PF=BF，且EF⊥AC于点P，此时PB+PE取得最小值，
∵四边形ABCD是正方形
∴点F在AB上，且AF=AE=3，则△AEF为等腰三角形
∴在Rt△AEF中，EF=3倍根号2
∴PE=3/2倍根号2
∵AC为在正方形ABCD的对角线
∴∠PAE=45°
又EF⊥AC
∴AP=PE=3/2倍根号2
即点P在AC距点A3/2倍根号2上

Answer 3

PB+PE
最小 值为 5

在 AD 上 设 一点 E'，使得AE‘ =3，E’D = 1，且AC与EE’交与 点F。
容易得知 △AEP 全等于 △AE‘P，即 EP = EP’
所以 PB+PE = PB+PE'

当P点在 AC 上移动时，形成 △BPE'，此时 PB+PE‘ >BE' ，当 P与F重合时，PB+PE‘= BE'

而△ABE’是直角三角形 ，所以 BE‘ = 5

Answer 4

解：以AC为对称轴作E的对称点F，则PB+PE=PB+PF=BF，且EF⊥AC于点P，此时PB+PE取得最小值，
∵四边形ABCD是正方形
∴点F在AB上，且AF=AE=3，则△AEF为等腰三角形
∴在Rt△AEF中，EF=3倍根号2
∴PE=3/2倍根号2
∵AC为在正方形ABCD的对角线
∴∠PAE=45°
又EF⊥AC
∴AP=PE=3/2倍根号2
即点P在AC距点A3/2倍根号2上

Answer 5

无语，我在搜，都没答案，哭死