Question

求解 在三角形ABC中，SINA=(SINB+SINC)/(COSB+COSC),试判断△ABC的形状

最好给出解答过程，万分感激

Answer 1

△ABC是以A为直角的Rt△。　证明如下：
∵sinA＝（sinB＋sinC）/（cosB＋cosC），　∴sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC，
结合正弦定理、余弦定理，容易得到：
a［（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）］＋a［（a^2＋b^2－c^2）/（2ab）］＝b＋c，
∴（a^2＋c^2－b^2）/（2c）＋（a^2＋b^2－c^2）/（2b）＝b＋c。
去分母，得：（a^2b＋bc^2－b^3）＋（a^2c＋b^2c－c^3）＝2b^2c＋2bc^2，
∴（a^2b－b^3）＋（a^c－b^2c）＝c^3＋bc^2，
∴b（a^2－b^2）＋c（a^2－b^2）＝c^2（b＋c），　∴（a^2－b^2）（b＋c）＝c^2（b＋c）。
显然，在△ABC中，b＋c＞0，∴a^2－b^2＝c^2，即：b^2＋c^2＝a^2。
由勾股定理的逆定理，得：△ABC是以A为直角的Rt△。