Question

在梯形ABCD中，AB ∥ CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角

在梯形ABCD中，AB ∥ CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转．（1）如图1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是______，数量关系是______；（2）继续旋转三角板，旋转角为α．请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，若 OF= 5 6 ，求PE的长．

Answer 1

（1）垂直，相等． 画图如右图（答案不唯一） （2）（1）中结论仍成立． 证明如下： 过A作AM⊥DC于M， 则四边形ABCM为矩形． ∴AM=BC=2，MC=AB=1． ∵DC=2， ∴ DM= 2 2 =1 ． ∴DC=BC． ∵△CEF是等腰直角三角形， ∴∠ECF=90°，CE=CF． ∵∠BCD=∠ECF=90°， ∴∠DCE=∠BCF， 在△DCE和△BCF中， DC=BC ∠DCE=∠BCF CE=CF ， ∴△DCE≌△BCF， ∴DE=BF，∠1=∠2， 又∵∠3=∠4， ∴∠5=∠BCD=90°， ∴DE⊥BF， ∴线段DE和BF相等并且互相垂直． （3）∵AB ∥ CD， ∴△AOB ∽ △COD， ∴ AB CD = OA OC = OB OD ， ∵AB=1，CD=2， ∴ OA OC = OB OD = 1 2 ， 在Rt△ABC中， AC= A B 2 +B C 2 = 1+4 = 5 ， ∴ OA= 5 3 ， 同理可求得 OB= 2 2 3 ， ∵ OF= 5 6 ， ∴ AF=OA+OF= 5 2 = AC 2 ， ∴ CE=CF= 5 2 ． ∵BC=CD，∠BCD=90°， ∴∠OBC=45°， 由（2）知△DCE≌△BCF， ∴∠1=∠2， 又∵∠3=∠OBC=45° ∴△CPE ∽ △COB， ∴ PE OB = CE BC ， ∴ PE 2 2 3 = 5 2 2 ， ∴ PE= 10 6 ．