如图,直径为13的⊙O′经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点,线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程

如图,直径为13的⊙O′经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点,线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+60=0的两根.(1)求线段OA、OB的长;... 如图,直径为13的⊙O′经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点,线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+60=0的两根.(1)求线段OA、OB的长;(2)已知点C在劣弧OA上,连接BC交OA于D,当OC2=CD?CB时,求C点的坐标;(3)在(2)问的条件下,在⊙O′上是否存在点P,使S△POD=S△ABD?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 展开
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得君须妙心2388
推荐于2016-12-01 · 超过61用户采纳过TA的回答
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(1)连接AB,∵∠BOA=90°,
∴AB为直径,根与系数关系得OA+OB=-k,OA?OB=60;
根据勾股定理,得OA2+OB2=169,
即(OA+OB)2-2OA?OB=169,
解得k2=289,∴k=±17(正值舍去).
则有方程x2-17x+60=0,x=12,或5.
又OA>OB,
∴OA=12,OB=5.

(2)若OC2=CD?CB,则△OCB∽△DCO,
∴∠COD=∠CBO,
又∵∠COD=∠CBA,
∴∠CBO=∠CBA,
所以点C是弧OA的中点.
连接O′C交OA于点E,根据垂径定理的推论,得O′E⊥OA,
根据垂径定理,得OE=6,
根据勾股定理,得O′E=
O′O2?OE2
=
6.52?62
=2.5,
∴CE=6.5-2.5=4,
即C(6,-4).

(3)设直线BC的解析式是y=kx+b,
b=5
6k+b=?4

解得:
k=?
3
2
b=5

则直线BC的解析式是y=-
3
2
x+5,
令y=0,解得:x=
10
3

则OD=
10
3
,AD=12-
10
3
=
26
3

∴S△ABD=
1
2
×5×
26
3
=
65
3

若S△ABD=S△OBD,P到x轴的距离是h,
1
2
×
10
3
h=
65
3
,解得:h=13.
而⊙O′的直径是13,因而P不能在⊙O′上,
故P不存在.
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