Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足a n +S n =2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证数列{a n }

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足a n +S n =2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列．

Answer 1

（1）当n=1时，a 1 +S 1 =2a 1 =2，则a 1 =1． 又a n +S n =2，所以a n+1 +S n+1 =2，两式相减得a n+1 = 1 2 a n ， 所以{a n }是首项为1，公比为 1 2 的等比数列， 所以a n = 1 2 n-1 ． （2）证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p+1 ，a q+1 ，a r+1 （p＜q＜r，且p，q，r∈N * ），则2? 1 2q = 1 2p + 1 2r ，所以2?2 r-q =2 r-p +1．① 又因为p＜q＜r，所以r-q，r-p∈N * ． 所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．