Question

设O为坐标原点，F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P满足∠F1PF2=60°

设O为坐标原点，F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P满足∠F1PF2=60°，|OP|=7a，则双曲线的渐近线方程为______．

Answer 1

假设|F₁P|=x
∵OP为三角形F₁F₂P的中线，
∴根据三角形中线定理可知x²+（2a+x）²=2（c²+7a²），
整理得x（x+2a）=c²+5a²，
由余弦定理可知x²+（2a+x）²-x（2a+x）=4c²，
整理得x（x+2a）=14a²-2c²，
进而可知c²+5a²=14a²-2c²，
求得3a²=c²
∴c=

3

a，
∴b=

2

a，
∴渐近线为y=±

2

x，
故答案为：y=±

2

x．