Question

如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP交DC于Q，问当点P在何位置时，△ADQ的面积最小并求出

如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP交DC于Q，问当点P在何位置时，△ADQ的面积最小并求出这个最小面积．

Answer 1

设BP=x， ∵∠BAP+∠BPA=90°，∠BPA+∠CPQ=90°， ∴∠BAP=∠CPQ，又∠B=∠C=90°， ∴△ABP ∽ △PCQ， ∴ AB PC = BP CQ ， ∴CQ= BP?PC AB = x(4-x) 4 =- 1 4 x 2 +x， ∴DQ= 1 4 x 2 -x+4 ∴S △ADQ = 1 2 AD?DQ= 1 2 ×4（ 1 4 x 2 -x+4） = 1 2 x 2 -2x+8， ∴当x=- -2 2× 1 2 =2时，S △ADQ =6．即当点P在BC中点时，△ADQ有最小值6．