Question

三人独立破译同一份密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为 1 5 ， 1 4 ， 1

三人独立破译同一份密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为 1 5 ， 1 4 ， 1 3 ，且他们是否破译出密码互不影响．（Ⅰ）求恰有二人破译出密码的概率；（Ⅱ）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由．

Answer 1

记“第i个人破译出密码”为事件A 1 （i=1，2，3）， 依题意有 P( A 1 )= 1 5 ，P( A 2 )= 1 4 ，P( A 3 )= 1 .3 ， 且A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立． （Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有 B=A 1 ?A 2 ? . A 3 ?A 1 ? . A 2 ?A 3 + . A 1 ?A 2 ?A 3 ， 且A 1 ?A 2 ? . A 3 ，A 1 ? . A 2 ?A 3 ， . A 1 ?A 2 ?A 3 彼此互斥 于是P（B）=P（A 1 ?A 2 ? . A 3 ）+P（A 1 ? . A 2 ?A 3 ）+P（ . A 1 ?A 2 ?A 3 ） = 1 5 × 1 4 × 2 3 + 1 5 × 3 4 × 1 3 + 4 5 × 1 4 × 1 3 = 3 20 ． 答：恰好二人破译出密码的概率为 3 20 ． （Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D． D= . A 1 ? . A 2 ? . A 3 ，且 . A 1 ， . A 2 ， . A 3 互相独立，则有 P（D）=P（ . A 1 ）?P（ . A 2 ）?P（ . A 3 ）= 4 5 × 3 4 × 2 3 = 2 5 ． 而P（C）=1-P（D）= 3 5 ， 故P（C）＞P（D）． 答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大．